فاصلهٔ نقطهٔ $P(7, -4)$ را از هر یک از خطوط با معادله‌های زیر به دست آورید:
الف) $L: 2x + y = 5$
ب) $T: x = 5$
پ) $\Delta: y = 0$
برای محاسبهٔ فاصلهٔ نقطهٔ $P(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ از فرمول زیر استفاده می‌شود:
$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
نقطهٔ مورد نظر: $P(7, -4)$.
**الف) خط $L: 2x + y = 5$**
ابتدا معادلهٔ خط را به فرم کلی $ax + by + c = 0$ می‌بریم: $2x + y - 5 = 0$.
در این حالت، $a = 2$، $b = 1$، $c = -5$، $x_0 = 7$ و $y_0 = -4$ است.
$$d_L = \frac{|2(7) + 1(-4) - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|14 - 4 - 5|}{\sqrt{4 + 1}}$$
$$d_L = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$
**فاصله**: $\sqrt{5}$
**ب) خط $T: x = 5$**
معادلهٔ خط به فرم کلی: $1x + 0y - 5 = 0$. در این حالت $a = 1$, $b = 0$, $c = -5$.
این خط یک خط عمودی است. فاصلهٔ نقطه $P(7, -4)$ تا آن، برابر با قدر مطلق تفاضل طول‌های آن‌هاست:
$$d_T = \frac{|1(7) + 0(-4) - 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|7 - 5|}{1} = |2| = 2$$
**فاصله**: $2$
**پ) خط $\Delta: y = 0$**
معادلهٔ خط به فرم کلی: $0x + 1y + 0 = 0$. در این حالت $a = 0$, $b = 1$, $c = 0$.
این خط همان محور $x$ است. فاصلهٔ نقطه $P(7, -4)$ تا آن، برابر با قدر مطلق عرض نقطه است:
$$d_{\Delta} = \frac{|0(7) + 1(-4) + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{1} = 4$$
**فاصله**: $4$
خط $L: 3x - 4y = 0$ بر دایره‌ای به مرکز $W(2, -1)$ مماس است. شعاع دایره را بیابید. (راهنمایی: خط مماس بر دایره بر شعاع گذرنده از نقطهٔ تماس عمود است).
طبق راهنمایی، **شعاع** دایره‌ای که خط $L$ بر آن مماس است، برابر با **فاصلهٔ مرکز دایره ($W$) تا خط مماس ($L$)** است.
مرکز دایره: $W(x_0, y_0) = W(2, -1)$.
معادلهٔ خط مماس: $L: 3x - 4y = 0$.
از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط استفاده می‌کنیم:
$$r = d(W, L) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
از معادلهٔ $3x - 4y + 0 = 0$، داریم: $a = 3$، $b = -4$ و $c = 0$.
با جایگذاری مختصات $W(2, -1)$:
$$r = \frac{|3(2) + (-4)(-1) + 0|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$$
$$r = \frac{|6 + 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}}$$
$$r = \frac{10}{5} = 2$$
**شعاع دایره**: $$r = 2$$
